《序》

夫（fú）高而大者，莫大于天；厚而广者，莫大于地。体恢弘而阔落，形修广而幽清，可以玄象课其进退，然而宏远不可指掌也。可以晷仪验其长短，然而巨阔不可度量也。虽穷神知化不能极其妙，探𦣱索隐不能尽其微，是以诡异之说出，则两端之理生，遂有浑天、盖天，兼而并之。故能弥纶天地之道，有以见天地之𦣱（zé），则浑天有灵宪之文，盖天有周髀之法，累代存之，官司是掌，所以钦若昊天，恭授民时。爽以暗弊，才学浅味，隣高山而仰之，慕景行之轨辙，负薪馀（yú）日，聊观《周髀》。其旨约而远，其言曲而中，将恐废替，濡（rú）滞不通，使谈天者无所取则，辄（zhé）依经为图，诚冀颓毁重仞（rèn）之墙，披露堂室之奥，庶（shù）博物君子，时逈（jiǒng）司焉。

译文：世上最高大的莫过于天，最深厚宽阔的莫过于地。天地雄伟宽阔，向远处看去天地宽广幽远，可以根据天象验证核实天地的运行规律，然而其广远不可能了如指掌。可以用日晷仪（测日影以定时刻的仪器）测量天地的长短，然而其巨大的尺度不能直接度量。虽然苦思冥想，探微索隐也不得其中的奥妙，也因此出现了不同的说法，对立学说产生，于是有浑天、盖天两家学说并存。因此要说能贯通天地之道，显现天地之隐，则有浑天学说的《灵宪》之文，盖天学说有《周髀》之法，历代相传，由官府保存，用以敬祀上天，安排民间事物。爽斌赋愚钝，才疏学浅，仰慕前贤高行圣德，于谋生糊口之暇，研读《周髀》。发现其旨意简约而深远，论述委婉而准确，深恐此书将来废弃湮灭，或者是后人不能通晓其义，使研究天文者无所依据，于是依据原文增绘图形，加以注释。希望能够掀开敝之高墙，披露文中的奥秘，以期博学君子能对此常加深思。

注：其中《周髀》详细描述了，如何以大地为立足点，确立一套以圆方换算为数学模型，对天体的运行轨迹、大地的尺寸进行测量和计算的方法。也就是说《灵宪》的浑天理论是对天如鸡卵，地如卵中黄的真实形象描写。而《周髀》的盖天理论是用于测量和计算空间数据，并以此为依据定义时间的操作方法。如果不用《周髀》的盖天测量法，就无法用图形和数据来表达天地之间的关系、运行的规律，也就无法制定历法指导人事。

《卷上》

昔者周公问商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”

译文：古代的周公问商高说：“听闻先生您很擅长术数，我想请教古代伏羲是如何计算天体的运行数据制定周历的。天没有阶梯可升，地不能用尺寸直接量得，不知基础的天文地理数据从何而来？”

商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。古折矩，以为勾广三，股修四径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三、四、五，两矩共长二十五有，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

译文：商高说：“伏羲使用的数学方法，都是基于圆和方相互变换的关系确立。圆可以从方形得到（割圆术），方形又可以用矩尺直接画出，并度量尺寸。矩尺的度量之数又是基于，九九八十一（平方）的数学理论。所以把矩尺按照勾三股四的比例设计。再用一个一样的矩尺，合成一个长方形，长方形的一半是一个矩尺。把长方形依次在平面旋转三次，得到边长为三、四、五正方形。使用最小的中间最小的正方形作为面积计算单位（这里称为【典】），用【典】依次堆叠计算边长为三和四的两个矩形面积大小正好是二十五。再次用【典】去计算中间边长为五的正方形（由弦组成的正方形）正好也是二十五，所以得出勾股定理。而这种用【典】去计算大小的方法称为 ‘积矩’ 法（这是勾股定理的最早记载，根据直角边求弦长的公式。之所以在制作矩尺的时候用三、四、五这组特殊数字，是因为恰好都是整数，既便制作精良的测量工具，又便于实际测量和计算）。而大禹治水用的也是这种方法。”

周公曰：“大哉言数！请问用矩之道？”

译文：周公赞叹道：“你所说的术数理论太深刻了。请问大禹又是如何用积矩法来治水的呢？”

商高曰：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆。笠以写天。天青黑，地黄赤。天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。是故知地者智，知天者圣。智出于句（勾），句（勾）出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，唯所为耳。”周公曰：“善哉！”

译文：商高说：“先扯出一条铅垂线，铅垂线与水平是垂直的。然后把矩尺的一边与铅垂线重合，那么另一边就是水平线，用此方法检验拉出的绳子是否保持水平。把矩尺的一边仰着放平，可以测量物体的高度。把矩尺的一边垂直朝下，可以测量坑壁的深度。把矩尺平放在地面，可以计算远近和距离。以无线缩短的直矩拼合在一起可无限接近于圆形，再用勾股平方和的方法求出圆的直径和周长。在地上用方形的矩，画出测量的区域，确立用于测量的基础参照数据。而天体的运行轨迹是圆形无法直接测量，就只能把他们的高度、远近、角度这些数据测出来，根据比例关系套在方形之上，再基于上述的圆方换算的方法，求出天体运行的轨迹数据，因此 “天圆地方” 就是这种测量和计算模型的数学概念。用【典】（小型方块）来计算方形数据，再用割圆术根据方形数据推理出圆形数据，由此来计算天体运行数据，而这种方法得到的数据被称为笠，专门用来描绘天体运行规律。天是青黑色，地是黄赤色。古天文数据称为笠，将天划作青黑色的外壳，将地划作丹黄色的内核，用于表达天地之间的位置关系。（这是 “浑天” 理论的内容）所以能够掌握地理知识的人是智者，而能掌握天文知识的人称为圣人。智者需要在地上通过大量的勾画直角测算数据，而句（以前‘句’又可称为‘勾’）是用矩尺画的。智者使用矩尺和数用以观测天地，随便计算裁剪万物。”周公赞叹道：“实在是了不起。”

昔者荣方问于陈子，曰：“今者窃闻夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤，夫子之道皆能知之。其信有之乎？”
陈子曰：“然。”
荣方曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之。今若方者可教此道邪？”
陈子曰：“然。此皆算术之所及。子之于算，足以知此矣。若诚累思之。”

译文：古代的荣方问陈子道：“我听说先生您的知识渊博，能知道太阳的高度和直径，日光能照到的范围，太阳一日运行的距离，人的视野极限，以及天上的星宿分布，天地的大小，先生的术数都能知晓，真是如此吗？” 陈子说：“是的。” 荣方说：“荣方虽然愚钝不明白其中的道理，希望有幸能得到您的教诲。今天荣方能否请教这些术数呢？” 陈子说：”可以。这只需要基本的算术知识就能知道。你的算术知识足以理解这些东西。你先去自己反复思考，或许可以领悟。“

于是荣方归而思之，数日不能得。复见陈子曰：”方思不能得，敢请问之。“ 陈子曰：”思之未熟。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类。是智有所不及，而神有所穷。夫道术，言约而用愽者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道。今子所学，算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。夫道术所难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其不习。既习矣，患其不能知。故同术相学，同事相观。此列士之愚智，贤不肖之所分。是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。是故算不能精习，吾岂以道隐子哉？固复熟思之。“

译文：于是荣方回去反复思索，数日不能得到要领。又去见陈子说：”荣方冥思苦想未能领悟，敢请夫子（指对年长而学问好的人的尊称）开导讲授。“ 陈子说：”思考得不够成熟。其基础也是望远测高术，而你不能领悟，是你对这个算术还不能触类旁通。是对知识理解的还不够透彻，以至于思考的地方有些缺陷。简而言之要想对此通博，要通过触类旁通才能对此明了。了解一类而能通晓万事，才能称为通晓天地。如今你所学的算术已用尽自己的知识仍然难以理解，是你学的知识太单一。学术难以通晓触类旁通的人，钻研了某个知识，又担心这个知识不够通博；通博了，又担心不够熟练；熟练了，又担心参悟不了其中的精要。这就导致一直在学习同一类知识，一直在观察同一件事情。此类人是愚智，‘圣贤者’ 和 ‘普通人’ 就是以此区分的。所以能把同样的东西归拢到同类的学术中，有这种智慧的人熟练掌握知识精要能够探寻其本质。学习同样的知识而不能精通的这类人，不是没有智慧而是知识没有掌握其中的精要。所以问题是你不能掌握知识的精要，我岂会向你隐瞒这些学识呢？你且回去再反复思索吧！“

荣方复归，思之，数日不能得。复见陈子曰：”方思以精熟矣。智有所不及，而神有所穷，知不能得。愿终请说之。“ 陈子曰：”复坐，吾语汝。“ 于是荣方复坐而请。陈子说之曰：”夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立杆测影。此一者天道之数。周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者句也。正南千里，句一尺五寸。正北千里，句一尺七寸。日益表南，晷日益长。侯句六尺，即取竹，空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸。故以句为首，以髀为股。从髀至日下六万里，而髀无影。从此以上至日，则八万里。若求邪至日者，以日下为句，日高为股。句、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所旁至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰，日晷径千二百五十里。“

译文：荣方回去之后，继续思考这些问题数日仍然没有得到结果。又去见陈子说：“荣方已经深思了，但对算术知识的理解仍然不够透彻，思维受到限制，实在无法自行参悟，还请先生开导讲授吧！” 陈子说：“请坐，我告诉你。” 于是荣方坐下再次请教，陈子开始讲授它的原理。陈子说：“夏至的正午时分太阳在正南方的一万六千里处，冬至日正午时分太阳在正南方的十三万五千里处，在正午太阳位于正中时，测量周髀的影子，而这一个髀就是测算天的运行规律之数。周髀长八尺（高度），夏至日正午时分，在日晷上形成的影子为一尺六寸。那么周髀的高度八尺就是股，日晷影子长度一尺六寸就是勾。把观测点向正南方移动一千里，勾缩短一寸（变成一尺五寸）。向北移动一千里，勾就会增长一寸（变成一尺七寸）。假如在一个水平面上，则每向南一千里缩短一寸，每向北一千里增长一寸。这里就定下了比例尺，一寸对应一千里，一尺对应一万里。下一步当勾为六尺的时候，用八尺长一寸空径的竹子，观测太阳（太阳在大气层中所呈的像）的大小，则正好可以填满空径。利用相似三角形的概念计算得出，太阳像的高度与直径的比例是80倍，这是以竹管前面得孔径为句（勾），竹子的长度为股，计算得出的结果。之前提到过此时的句为6尺，用一寸千里的理论表示，髀向南移动6万里处没有日影，而此时太阳距离地面的高度是8万里。如果要求斜边（径）到太阳的距离，可以用日影为句（勾），日高为股。使用勾股定理（两直角边的平方之和再开方）得出斜边到太阳的距离是10万里。以现在竹竿的比例，80里的竹竿，孔径1里才能正好看到太阳，那么10万里竹竿，要一千二百五十里的孔径正好能看见太阳。所以称日晷圆盘的直径长一千二百五十里。”

日高图：

法曰：“周髀长八尺，句之损寸千里。故曰：极者，天广地袤也。今立表高八尺以望极，其句一丈三寸。由此观之，则从周北十万三千里而至极下。” 荣方曰：“周髀者何？”

译文：陈子继续说：“以周髀高八尺，勾长一寸就是一千里的比例为准，可测算离我们最远的北极星。眼睛、表的顶点、北极星三点构成的直线在地面形成的勾，就跟投影形成的勾是一样的，长一丈三寸。根据勾股开方可算出，从观测地到北极正下方，也就是从周地测算的北极点，水平距离为十万三千里。” 荣方问道：“什么是周髀？”

陈子曰：“古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。以此观之，从南至夏至之日中十一万九千里。北至其夜半亦然。凡径二十三万八千里。此夏至日道之径也，其周七十一万四千里。从夏至之日中，至冬至之日中十一万九千里。北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里。从极北之夜半亦然。凡径四十七万六千里。此冬至日道径也，其周百四十二万八千里。从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里。故曰：月之道常缘宿，日道亦与宿正。南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。”

译文：陈子说：“古时候天子治理周朝，而这个东西是从周朝传下来，所以称为周髀，周髀也就是表。根据上述测算方法，可求出夏至日这天正午，从这里到太阳的水平距离是一万六千里，冬至日这天正午从这里到太阳的水平面距离是十三万五千里处，太阳正下方的表没有影子。由此可以算出太阳夏至日到冬至日的水平距离是十一万九千里（13.5-1.6=11.9）。夏至日这天半夜，从北极到太阳的距离也是十一万九千里（前面一段表示夏至日这天正午太阳距离南极的距离，而到半夜太阳距离北极的距离也应该是一样的。），这是太阳绕北极点运行的半径，直径就是二十三万八千里。夏至日太阳运行一周，日道周长为七十一万四千里（23.8x3=71.4）。夏至日正午太阳距离冬至日正午太阳距离是十一万九千里，夏至日半夜太阳距离北极同样是十一万九千里。所以南极距离冬至日正午太阳是二十三万八千里，冬至日正午太阳距离北极同样是二十三万八千里，冬至日日道直径就是四十七万六千里，其周长就是一百四十二万八千里。春秋分正午的太阳距离北极是十七万八千五百里（这是因为中国在北半球，春秋分正午的日影都是指向北方），到了半夜南极点向北到太阳的距离也是十七万八千五百里，所以日道直径为三十五万七千里，周长为一百七万一千里。所以说月亮的运行轨迹是二十八星宿的区域进行的，而太阳的运行轨迹（黄道）与二十八宿同样有对应关系（太阳在一年中的不同时间经过不同的宿）。南极到夏至日正午太阳十一万九千里，北极到冬至日半夜太阳二十三万八千里，南极到冬至日正午二十三万八千里，北极到夏至日半夜太阳十一万九千里，所以直径是三十五万七千里，周长是一百七万一千里。“

如下图所示：地轴与北极星形成一条直线，当做固定不动，并以周地所测出的北极点，作为测量太阳运行轨迹的参照点，那么太阳就围绕大地做南北移动和圆周运动的综合（螺旋）运动。

补充说明：

那时古人认为当时的观测点中原地带日中无影，正好是地球中央，与赤道是相对平行的，且能观测到的星球只能观察其一半的运行轨迹，例如星星的运行轨迹只能晚上看见、太阳的运行轨迹只能白天看见。同时经过长期观测发现行星的运行轨迹都是对称的，所以白天太阳在正上方距离南极的距离，半夜太阳在正下方距离北极的距离，认为是一样的。
太阳的运行轨迹是变动的，所以古人以夏至日正午太阳为中心点，测算夏至日日道运行轨迹。以春秋分正午太阳为中心，测算春秋分的日道运行轨迹。以冬至日正午太阳为中心，测算冬至日日道运行轨迹。
最后一段是使用（南极夏至日+北极冬至日） = （南极冬至日+北极夏至日）来互相印证前面的测算是否有问题。
古人所计算的是星体成像数据和像的运行轨迹数据，并不是我们现代科学所计算出的实体数据。古人通过当时现有的工具，测算星体成像的运行轨迹。侧面印证古人是极具智慧且务实的。

“春分之日夜分以至秋分之日夜分，极下常有日光。秋分之日夜分以至春分之日夜分，极下常无日光。故春秋分之日夜分之时，日所照适至极，阴阳之分等也。冬至、夏至者，日道发敛之所生也至，昼夜长短之所极。春秋分者，阴阳之修，昼夜之象。昼这者阳，夜者阴。春分以至秋分，昼之象。秋分至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北极下，夜半日光之所照亦南至极。此日夜分之时也。故曰：日照四旁各十六万七千里。”

译文：

“人望所见，远近宜如日光所照。从周所望见北过极六万四千里，南过冬至之日三万二千里。夏至之日中，光南过冬至之日中光四万八千里，南过人所望见一万六千里，北过周十五万一千里，北过极四万八千里。冬至之夜半日光南不至人所见七千里，不至极下七万一千里。夏至之日中与夜半日光九万六千里过极相接。冬至之日中与夜半日光不相及十四万二千里，不至极下七万一千里。夏至之日正东西望，直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。冬至之日正东西方不见日。以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。凡此数者，日道之发敛。冬至、夏至，观律之数，听钟之音。冬至昼，夏至夜。差数及，日光所还观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。”