数的起源与发展

数的起源

数是一个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。

数究竟产生于何时，由于其年代久远，我们已经无从考证。不过可以肯定的一点是数的概念和计数的方法在文字记载之前就已经发展起来了。根据考古学家提供的证据，人类早在5000多年前就已经采用了某种计数方法。

原始时代的人类，为了维持生活他们必须每天外出狩猎和采集果实。有时他们满载而归，有时却一无所获；带回的食物有时有富余，有时却不足果腹。生活中这种数与量上的变化，使人类逐渐产生了数的意识。在那个时候，他们开始了解有与无，多与少的差别，进而知道了一和多的区别。然后又从多到二、三等单个数目概念的形成，是一个不小的飞跃。随着社会的进一步进步和发展，简单的计数就是必须的了，一个部落集体必须知道它有多少成员或有多少敌人，一个人也必须知道他的羊群里的羊是不是少了。这样，人类的祖先在与大自然的艰难搏斗中，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生了数的概念。

当人们用自己的十个手指记数不敷应用时，便开始采用“石头记数”、“结绳记数”和“刻痕记数”等记数方法。

考古证据表明，虽然地区和民族之间存在差异，但在采用计数方法时，都不约而同地使用过“一一对应”的方法。这种画杠的方法曾经被多个民族所采用。关于这个一一对应的方法，可以举出许多别的例证，如一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来计数他们所捕野猪的数目；居住在乞力马扎罗山山坡上的马萨伊游牧部落的少女，习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄。几乎所有的人都常常扳着指头计数较小的数目。在我国北京郊区周口店的山顶洞人遗址中，考古学家发掘出了四根带有磨刻痕迹的骨管，发现它们已有一万多年的历史了。结绳记数(或记事)的方法，也曾经被许多民族所使用。比如，南美印加人的结绳办法就是在一条较粗的绳子上，拴住很多颜色各异的细绳，再在细绳上打不同的结，根据绳的颜色，结的大小和位置，来代表不同事物的数目。在记数史上，继结绳和刻画之后，人们开始用语言来表述一定的数目。

数的发展

数的发展总体可以分为远古时期、罗马时期、筹算、0的引进和阿拉伯数字这五个阶段。

远古时期(计数阶段)

远古时期的人类已经具有判断事物多少的能力，但是在生活中仍遇到了许多无法解决的困难：比如两头牛和三头牛，人类可以轻易地分辨出哪个多，哪个少。但如果是两群呢？这时候可能就分辨不出了，那怎么办？聪明的人类想到了很多解决这种问题的方法。例如古代就有“结绳计数”的方法，可以解决这个难题。人类也创造了一些数字来对事物计数。不过这些并不同于我们现在所用的这些数字，它们都是有着实际背景的，表示的不是1、2，而可能是一亩地、两头牛。但好歹和数字沾点边儿了，不是吗？

罗马时期

大约在两千五百年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手指作为计算工具。为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四个手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。这种习惯人类一直沿用到今天。人们在交谈中，往往就是运用这样的手势来表示数字的。当时，罗马人为了记录这些数字，便在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数；要表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示大指与食指张开的形状；表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形，后来又写成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，这就是罗马数字的雏形。

后来为了表示较大的数，罗马人用符号C表示一百。C是拉丁字“century”的头一个字母，century就是一百的意思。用符号M表示一千。M是拉丁字“mille”的头一个字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成为符号L，表示五十。用字母D表示五百。若在数的上面画一横线，这个数就扩大一千倍。这样，罗马数字就有下面七个基本符号：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、L（50）、C（100）、D（500）、M（1000）。

第三阶段—-筹算

因为数量是可以无限制地多的，我们要想给每一个数量都定义一个符号来表示的话，摆在我们面前的将是一个不可能完成的任务：需要无穷多个符号。
为了解决这个难题，人们想到了进位，我可以以一到九为基本计数符号，然后创造出十进制基数（十的倍数）的一些符号。那人类都创造了哪些呢？在中国，我们创造了十、百、千、万、亿、兆这些十的倍数，还有筹算（中国古代使用算筹进行十进位制计算的程序），在西方国家，则是hundred、thousand、million、billion。

比如说，要表示53这个数，当时的人们会说：五十有三。这个很有意思，为什么是“五十有三”，而不是“五十三”呢？你要明白，目前我们只是创造了几个新的符号来辅助计数，它虽然类似于我们的十进制，但它并不是严格意义的十进制，我们待会再说这个问题。所以，我们说“五十有三”，表示的意思是“五个十，再加上三”，对，你没看错，是“五个十”，而不是“五十”！这里充分说明了“十”只是一个计数符号而已。

第四个阶段—-0的引进

• 从历史上看
  如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”这个数字的。这时，罗马有一位学者从印度计数法中发现了“0”这个符号。他发现，有了“0”，进行数学运算非常方便。他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。这件事不久就被罗马教皇知道了。当时，教会的势力非常大，而且远远超过皇帝。教皇非常愤怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物。如今谁要使用它，谁就是亵渎上帝！于是，他下令，把那位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他再也不能握笔写字。就这样，“0”被那个教皇命令禁止了。尽管罗马皇帝禁止“0”的出现，但“0”的出现，谁也阻挡不住。后来，“0”在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
  
  关于0的出现还有另一个历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。

• 0 的实际意义
  在当时虽然人们找到了一些足够日常生活实用的符号，但实质上这几个符号是不能构成数字符号系统的，它们只能称为准数字符号系统。数量无穷多，这样下去，必须得创造无穷多个符号才够用，这又是一个不可能完成任务，直到零的出现彻底让人类解决了计数难题。
  
  在零引入之前就已经有了位数准则：数字符号在不同的位置表示基数不同的量。这个可以参考我们祖先发明的算盘：同样的算珠在不同的位置表示不同的量，比如，两个算珠在个位表示二，在百位就表示二百。这就是位数准则的体现。可如何用数字符号来表示呢？这时候就体现0的作用了。有了 0 到 9 十个数字，再加上位数准则，一切都解决了，“十”怎么表示？用符号1和0，加上位数准则，组成10；“一千有三呢”呢？千位上放1，个位上放3，其它位置放上0，则成了1003.一个有效且简捷的十进制数字符号系统就建立起来了：十个符号加上位数准则。

第五个阶段—阿拉伯数字

阿拉伯数字就是现今国际通用的数字。阿拉伯数其实字应该称为印度数字，公元3世纪，印度的一位科学家巴格达发明了阿拉伯数字。最古的计数目大概至多到3，为了要设想“4”这个数字，就必须把2和2加起来，5是2加2加1，3这个数字是2加1得来的，大概较晚才出现了用手写的五指表示5这个数字和用双手的十指表示10这个数字。这个原则实际也是数学计算的基础。阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元10世纪，又由教皇热尔贝·奥里亚克传到欧洲其他国家。公元1200年左右，欧洲的学者正式采用了这些符号和体系。至13世纪，在意大利比萨的数学家费婆拿契的倡导下，普通欧洲人也开始采用阿拉伯数字，15世纪时这种现象已相当普遍。那时的阿拉伯数字的形状与现代的阿拉伯数字尚不完全相同，只是比较接近而已，为使它们变成今天的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的书写方式，又有许多数学家花费了不少心血。

阿拉伯数字起源于印度，但却是经由阿拉伯人传向四方的，这就是后来人们误解阿拉伯数字是阿拉伯人发明的原因。正因阿拉伯人的传播，成为该种数字最终被国际通用的关键节点，所以人们称其为“阿拉伯数字”。阿拉伯数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个计数符号组成。由于它们书写方便，一直被沿用至今。

数的衍生

进制的衍生与运用

说完了十进位制计数系统的产生过程，再来看看我们生活里常用的一些其它进位制。

十进制最为常用，原因也很简单：人有十个手指头。可观察年历，每十二个月记为一年，十二进制的。这是怎么来的？普遍认为，十二进制的发明与历法有关，而历法是怎么制订的呢？依据气候周而复始的变化而制订的。中国的历法是以月亮的阴晴圆缺以及位置变化为基础的，所以叫做阴历（也能理解为什么叫做一月、二月了吧）。通过观察月亮的盈亏，历法规定了一年有十二个月，大月三十天，小月二十九天。显然比现行的阳历（以太阳为基础制订的历法）少，所以阴历每三年会有一个闰月，以维持平衡。不过需要注意的是，十二进制在本质上仅限于对季节周期、时间有关的表述，并不用于其它场合。你可能会有疑问，不对啊，英语里不是有“dozen”吗？不就是十二进制吗？这里需要说明一下，英文里十二“twelve”的词源是古英语“twalif”，什么意思呢？是“漏掉两个”的意思，它告诉你，twelve其实是基于十进制的一个数字。关于十二进制的还有很多有趣的东西，比如说：十二生肖，十二星座。还有我们干支纪年法的天干、地支，天干有十个（甲乙丙丁午己庚辛壬癸），地支有十二个（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）。

另一种常用的进位制是六十进制，很简单，一小时是六十分，一分钟是六十秒。可六十进制是怎么创造出来的呢？这个原因一直没有定论，一种观点是60是10和12的最小公倍数。为什么这么想呢？观察中国的干支纪年法，它是取天干的单数配地支的单数，天干的双数陪地支的双数，正好是60个组合，所以此纪年法六十甲子周而复始，轮回往复。

还有一种近代才兴盛起来的进位制：二进制。这个主要用在计算机的运算上了。二进制是最简单的计数系统了，只需要两个数字符号：0,1.而这也是它被用于计算机的主要原因，因为只需要设定两种状态就够了（比如正向电流和负向电流），而如果采用十进制的话，则需要设定十种状态，这在电磁学上几乎是不可能实现的。
不过，虽然说了这么多，稍微有些数学素养的人都知道，无论几进制都是能够实现并应用的。无论采用哪种技术方法，得到的结果始终是一样的，不要忘了，它们都是数字符号加上位数准则而得到的计数系统，本质是相同的。

分数、正负数、有理数、无理数等等的衍生

发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数全都是自然数。但随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年，自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。

随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。

后来，又有学者发现了一些无法用有理数表示的数。有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边长为1的正方形。设对角线为x，根据勾股定理x^2=1^2+1^2=2,可见对角线是存在的，可它是多事呢？又该怎样表示它呢? 希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。寝室，这就是后来人们发现的“无理数”，这些数无法用准确的数字表示出来，它们是无限不循环小数，所以用根号来表示。无理数和有理数统称为实数。除了实数以外，后来人们又发现了虚数和复数，数这个大家庭在不断地扩大。

reference

数的起源与发展

数的起源与表示